I ett uttalande säger Kim Jong-Un: "Vi kommer att överväga den högsta nivån av hårda motåtgärder i historien" mot USA.
"Vad Trump än kan ha väntat sig så kommer han att få resultat utöver sina förväntningar. Jag kommer säkert och definitivt att tämja den mentalt störda och senila amerikanen med eld", säger han.
Han säger också att Trumps tal var den "grymmaste krigsförklaringen i historien", och att det visar att Nordkoreas kärnvapenprogram har varit rätt väg att gå.
Nordkoreas utrikesminister Ri Yong-Ho säger att landet kan komma att överväga att testa en vätebomb i Stilla havet, rapporterar den sydkoreanska nyhetsbyrån Yonhap.
Stärkta sanktioner
Den amerikanske presidenten utfärdade på torsdagen en presidentorder som kraftigt förstärker sanktionerna mot Nordkorea. Bland annat ska USA kunna straffa banker som genomför transaktioner med kopplingar till kärnvapendiktaturen.
- Utländska finansiella institutioner uppmärksammas nu på att de i framtiden kan välja mellan att göra affärer med USA eller med Nordkorea, men inte båda, säger USA:s finansminister Steven Mnuchin om sanktionerna.
I sitt tal inför FN:s generalförsamling tidigare i veckan sade Trump att Kim Jong-Un har tagit sin regim på självmordsuppdrag, och att USA, om landet hotas, kommer att förstöra Nordkorea helt.
Den nordkoreanske diktatorn, som Trump kallar "Raketmannen", låter sig inte skrämmas av Trumps hårda ord, säger han i sitt uttalande.
"Hans uttalande har övertygat mig, snarare än att skrämma eller stoppa mig, om att vägen jag valt är rätt, och att det är den vägen jag måste följa till slutet", säger diktatorn, enligt den statliga nyhetsbyrån KCNA.
"Förskolebråk mellan barn"
"Jag kommer att tvinga mannen som har privilegiet att vara USA:s överbefälhavare att betala dyrt för talet där han uppmanar till total förstörelse av Nordkorea", säger diktatorn.
En dag efter Trumps tal inför FN:s generalförsamling kallade utrikesminister Ri Yong-Ho Trump för en "skällande hund".
Sergej Lavrov beskriver retoriken mellan de två ledarna som "ett förskolebråk mellan barn (där) ingen kan stoppa dem". Lavrov vill ha lugn och manar till förnuft och sans.
Nordkorea har återkommande skjutit upp robotar och genomförde för en tid sedan ett sjätte kärnvapentest.
Nordkorea får inte, enligt FN:s resolutioner, avfyra ballistiska robotar eller utföra kärnvapentester. FN:s säkerhetsråd antog nyligen nya resolutioner, som bland annat innebär ett totalt exportförbud för textilier och att Nordkoreas import av råolja begränsas.
På senare tid har läget vid den koreanska halvön trappats upp efter ett hotfullt ordkrig mellan Washington och Pyongyang liksom både robotuppskjutningar från Nordkorea och ett kärnvapentest, landets sjätte och mest kraftfulla.
Nordkorea är ett av världens mest slutna länder och majoriteten av de 25 miljoner invånarna lever under hårt förtryck.